Modularity Exercise #1

설정

$K$는 number field, $\overline{K}$는 $K$의 algebraic closure이며, $G_K=\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$라 하자. $E/K$는 elliptic curve, $\ell$은 prime이다. $n\ge 1$에 대하여

$$E[{\ell }^n]=\{P\in E(\overline{K}):[{\ell }^n]P=O\}$$

로 쓴다. 이는 $K$-rational torsion points만이 아니라 geometric torsion points 전체를 뜻한다. 또한

$${\mu }_m=\{\zeta \in {\overline{K}}^{\times }:{\zeta }^m=1\}$$

로 쓴다.

사용할 수 있는 표준 사실

다음 사실은 증명 없이 사용해도 된다. 이 사실들로부터 각 문제의 결론을 도출하는 논증을 작성하라.

1. Characteristic $0$에서 multiplication map $[m]:E\to E$는 degree가 $m^2$인 separable isogeny이다. 따라서 $[m]$은 $E(\overline{K})$ 위에서 surjective이고, $\#E[m]=m^2$이다.
2. Group law와 $[m]$은 $K$ 위에서 정의되므로 $G_K$의 작용과 교환한다.
3. Weil pairing $e_m:E[m]\times E[m]⟶{\mu }_m$은 bilinear, alternating, nondegenerate이다. 여기서 nondegenerate란 $e_m(P,Q)=1$이 모든 $Q\in E[m]$에 대해 성립하면 $P=O$라는 뜻이다. Galois equivariance와 필요한 compatibility는 문제 2에 명시한다. Weil pairing 자체의 구성은 요구하지 않는다.

문제 1. Torsion subgroup과 Tate module

(1) Torsion subgroup의 구조

모든 $n\ge 1$에 대해 $E[{\ell }^n]\cong (\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}{)}^2$임을 증명하라. 원소 수만으로 결론을 내리지 말고, finite abelian group의 structure theorem을 이용하여 group structure를 설명하라.

(2) Compatible bases와 inverse limit

각 $n$에서 $\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}$-basis $(P_n,Q_n)$을 선택하되 $\ell P_{n+1}=P_n,\ell Q_{n+1}=Q_n$이 되게 할 수 있음을 보여라. 이를 이용하여

$$T_{\ell }(E):=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}E[{\ell }^n],\text{transition map }[\ell ],$$

가 rank $2$인 free ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-module임을 증명하라.

(3) Finite-level representations와 Galois action

Projection ${\pi }_n:T_{\ell }(E)\to E[{\ell }^n]$, $(R_j{)}_j\mapsto R_n$으로부터 $G_K$-equivariant isomorphism $T_{\ell }(E)/{\ell }^n{T}_{\ell }(E)\cong E[{\ell }^n]$을 얻어라. 이어서 $G_K$의 작용이 연속인 representation ${\rho }_{E,\ell }:G_K⟶{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell })$을 정의함을 보여라. 이 matrix representation이 basis 선택에 어떻게 의존하는지도 설명하라.

힌트

1. $E[{\ell }^n][\ell ]=E[\ell ]$을 이용하여 cyclic factor의 개수를 구하고, 전체 원소 수를 비교하라.
2. $P_n,Q_n$의 lift를 선택한 뒤, 두 lift 사이의 관계에 $[\ell ]$을 적용하여 independence를 확인하라.
3. Compatible bases에 관한 좌표로 projection의 kernel을 구하라. 연속성은 각 finite-level representation의 kernel이 open인지 확인하라.

문제 2. Weil pairing으로 determinant 계산하기

$m={\ell }^n$이라 하자. Weil pairing의 Galois equivariance $e_m(\sigma P,\sigma Q)=\sigma (e_m(P,Q))$ ($\sigma \in G_K$)와 다음 compatibility를 추가로 사용해도 된다.

$$e_{{\ell }^{n+1}}(P^{\prime },Q^{\prime }{)}^{\ell }=e_{{\ell }^n}(\ell P^{\prime },\ell Q^{\prime })(P^{\prime },Q^{\prime }\in E[{\ell }^{n+1}]).$$

(1) Basis와 primitive root of unity

$(P,Q)$가 $E[m]$의 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$-basis라면 $e_m(P,Q)$가 primitive $m$-th root of unity임을 증명하라.

(2) Finite-level representation의 determinant

행렬 표기는 다음 규약을 따른다.

$$\sigma P=aP+cQ,\sigma Q=bP+dQ,{\rho }_{E,m}(\sigma )=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$$

여기서 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$이다. 다음 등식을 직접 계산하라: $e_m(\sigma P,\sigma Q)=e_m(P,Q{)}^{ad-bc}$. 이를 이용하여 $\det {\rho }_{E,m}={\chi }_m$을 증명하라. 여기서 cyclotomic character ${\chi }_m:G_K⟶(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }$는 다음 조건으로 정의된다. $\sigma (\zeta )={\zeta }^{{\chi }_m(\sigma )}$ ($\zeta \in {\mu }_m$).

(3) Tate module의 exterior square

다음 inverse limit을 생각하자.

$${\mathbb{Z}}_{\ell }(1):=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{\mu }_{{\ell }^n},\text{transition map }\zeta ⟼{\zeta }^{\ell }.$$

그 위의 자연스러운 Galois action에 대응하는 character를 ${\chi }_{\ell }={\underleftarrow{\lim }}_n{\chi }_{{\ell }^n}:G_K\to {\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times }$로 쓴다. Weil pairing이 $G_K$-equivariant isomorphism ${\bigwedge }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}^2{T}_{\ell }(E)\cong {\mathbb{Z}}_{\ell }(1)$을 유도함을 보이고, $\det {\rho }_{E,\ell }={\chi }_{\ell }$을 도출하라.

힌트

1. $e_m(P,Q)$의 order를 $d$라 놓고, $e_m(dP,R)$를 모든 $R\in E[m]$에 대해 살펴보라.
2. Bilinearity와 $e_m(Q,P)=e_m(P,Q{)}^{-1}$을 사용한 뒤, Galois equivariance와 비교하라.
3. Compatible bases에서 얻은 pairing 값들이 ${\mathbb{Z}}_{\ell }(1)$의 generator를 이루는지 확인하라.

문제 3. Torsion field와 real place에서의 oddness

$m={\ell }^n$이라 하고, $L_m=K(E[m])$을 모든 $m$-torsion point의 좌표를 첨가하여 얻는 field라 하자.

(1) Torsion field의 cyclotomic 부분

$K({\mu }_m)\subseteq L_m$임을 보이고, 다음 동치도 증명하라.

$${\rho }_{E,m}(G_K)\subseteq {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})⟺{\mu }_m\subseteq K.$$

(2) Complex conjugation과 oddness

$K$가 real place $v$를 갖는다고 가정하자. 해당 real embedding $v:K\hookrightarrow \mathbb{R}$를 확장하는 $\overline{K}\hookrightarrow \mathbb{C}$를 선택하여 얻는 complex conjugation을 $c_v\in G_K$라 하자. $\det {\rho }_{E,\ell }(c_v)=-1$임을 보여라. 이어서 $V_{\ell }(E):=T_{\ell }(E){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}{\mathbb{Q}}_{\ell }$ 위에서 $c_v$의 $+1$, $-1$ eigenspace가 각각 1차원임을 증명하라. 여기서 2-dimensional representation의 real place에서의 oddness는 complex conjugation의 determinant가 $-1$이라는 조건을 뜻한다.

(3) Residual representation과 $\ell =2$

$\ell \ne 2$이면 residual representation ${\overline{\rho }}_{E,\ell }:G_K⟶{\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_{\ell })$에서도 $c_v$의 eigenvalue가 $1,-1$이고 각각의 eigenspace가 1차원임을 보여라. $\ell =2$일 때는 왜 같은 논증이 성립하지 않는지 설명하라.

힌트

1. $\ker {\rho }_{E,m}$과 $\ker {\chi }_m$을 비교하고 Galois correspondence를 적용하라.
2. Complex conjugation이 roots of unity에 어떻게 작용하는지 확인하고, $c_v^2=1$을 이용하라.
3. $X^2-1$이 ${\mathbb{F}}_{\ell }$ 위에서 distinct roots를 갖는 조건을 살펴보라.

참고문헌

• Andrew Sutherland, Lecture 6: Torsion subgroups and endomorphism rings, MIT 18.783, Fall 2023, §6.1, Theorem 6.1.
• Andrew Sutherland, Lecture 23: Divisors and the Weil pairing, MIT 18.783, Fall 2023, Theorem 23.29, Corollary 23.30.
• Andrew Snowden, Lecture 2: Elliptic curves, Math 679, 2013, “The Tate module and Weil pairing”.