Galois representation Exercise #1

Galois representation 연습문제 1

이번 회차에서는 Galois representation을 공부하는 데 필요한 위상적 기초와 가장 기본적인 1차원 표현을 다룬다. 타원곡선의 Tate module이나 모듈러 형식에 관한 지식은 필요하지 않다.

공통 표기와 배경

• Field $K$의 separable closure를 $K^{\mathrm{sep}}$로 고정하고 $G_K=\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$로 쓴다. $G_K$에는 Krull topology를 준다.
• Finite Galois extension $L/K$에 대하여 $G_L=\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/L)$는 $G_K$의 open normal subgroup이다. 이들이 $1$의 local base를 이룬다는 사실을 사용해도 좋다.
• $\ell$은 소수이며, ${\mathbb{Z}}_{\ell }$과 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$에는 각각 통상적인 $\ell$-adic 위상을 준다. Finite group에는 discrete topology를 준다.
• 이 문서에서 arithmetic Frobenius는 residue field에서 $x\mapsto x^q$로 작용하는 원소이다. Geometric Frobenius는 그 역원이다.

문제 1. Finite codomain representation의 연속성

Finite group $H$와 group homomorphism $\rho :G_K\to H$를 생각하자.

1. $\rho$가 연속일 필요충분조건은 $\ker \rho$가 open subgroup이라는 것임을 증명하라.
2. 다음 두 조건이 동치임을 증명하라.
   • $\rho$가 연속이다.
   • 어떤 유한 Galois 확대 $L/K$와 homomorphism ${\rho }_L:\mathrm{Gal}(L/K)\to H$가 존재하여 $\rho ={\rho }_L\circ {\mathrm{res}}_{L/K}$이다.
3. $\rho$가 연속이라고 하자. $L_{\rho }=(K^{\mathrm{sep}}{)}^{\ker \rho }$로 놓으면 $L_{\rho }/K$가 finite Galois extension이고 $\mathrm{Gal}(L_{\rho }/K)\cong \mathrm{im}\rho$임을 보여라. 또한 $L_{\rho }$가 위 factorization을 가능하게 하는 최소의 intermediate field임을 증명하라.
4. 유한체 $k$ 위의 표현 $\bar{\rho }:G_K\to {\mathrm{GL}}_d(k)$에 위 결과를 적용하라. 이때 fixed field $L_{\bar{\rho }}$의 extension degree (over $K$)와 $\#{\mathrm{GL}}_d(k)$ 사이에 어떤 관계가 있는지 서술하고 증명하라.

힌트

Discrete space로 가는 함수의 연속성을 점의 역상으로 판정하라. Subgroup index와 extension degree of fixed field를 연결하라.

증명

1. 만일 $\rho$가 연속이라면 inverse image of open set $\{1\}\subset H$인 $\ker \rho$는 open subgroup of $G_K$여야 한다. 반대로 만일 $\ker \rho$가 open subgroup이라면, 임의의 (open) subset $U\subset H$에 대하여, ${\rho }^{-1}U={\bigcup }_{\sigma \in {\rho }^{-1}U}\sigma \ker \rho$는 union of open set이므로 역시 open이므로 $\rho$가 연속이다. $\square$

문제 2. 유한체의 Galois 군과 1-dimensional representation

$q=p^k$는 prime power이며, $F_q\in G_{{\mathbb{F}}_q}$를 $F_q(x)=x^q$로 정의하자.

1. Galois groups of finite extension을 이용하여 $G_{{\mathbb{F}}_q}\cong \hat{\mathbb{Z}}$ as topological group임을 증명하라. 이 동형에서 $F_q$가 $1\in \hat{\mathbb{Z}}$에 대응하며, $F_q$가 생성하는 cyclic subgroup이 dense함을 보여라.
2. Finite group $H$와 $h\in H$가 주어졌다고 하자. $\rho (F_q)=h$를 만족하는 continuous homomorphism $\rho :G_{{\mathbb{F}}_q}\to H$가 유일하게 존재함을 증명하라. 이 representation의 kernel의 fixed field도 구하라.
3. $a\in {\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$가 주어졌다고 하자. ${\chi }_a(F_q)=a$인 continuous homomorphism ${\chi }_a:G_{{\mathbb{F}}_q}\to {\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$가 존재할 필요충분조건을 $v_{\ell }(a)$로 나타내고 증명하라. 존재할 때 유일성도 증명하라. 여기서 $v_{\ell }(\ell )=1$로 정규화한다.
4. 3번에서 존재하는 ${\chi }_a$의 상이 유한할 필요충분조건을 $a$에 관한 조건으로 서술하고 증명하라. Codomain이 $H$인 경우와 ${\mathbb{Q}}_{\ell }^{\times }$인 경우의 차이를 설명하라.

힌트

Dense subset에서 일치하는 연속함수의 유일성을 이용하라. 존재성은 유한한 몫들에서 구성하고, 필요조건은 compact한 상에 valuation을 적용하여 조사하라.

문제 3. Cyclotomic character의 구성과 Frobenius 값

각 $n\ge 1$에 대해 primitive ${\ell }^n$-th root of unity ${\zeta }_{{\ell }^n}\in \overline{\mathbb{Q}}$를 ${\zeta }_{{\ell }^{n+1}}^{\ell }={\zeta }_{{\ell }^n}$이 되도록 고르자. $\sigma \in G_{\mathbb{Q}}$에 대해 $\sigma ({\zeta }_{{\ell }^n})={\zeta }_{{\ell }^n}^{{\chi }_{\ell ,n}(\sigma )}$로 ${\chi }_{\ell ,n}(\sigma )\in (\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}{)}^{\times }$를 정의한다.

1. 각 ${\chi }_{\ell ,n}$이 continuous group homomorphism이며, $n$에 관한 자연스러운 reduction map $r_n:a\mathrm{mod}{\ell }^{n+1}\mapsto a\mathrm{mod}{\ell }^n$과 compatible함, 즉 $r_n\circ {\chi }_{\ell ,n+1}={\chi }_{\ell ,n}$임을 증명하라. 이를 이용하여 continuous homomorphism ${\chi }_{\ell }:G_{\mathbb{Q}}\to {\mathbb{Z}}_{\ell }^{\times }$를 구성하라.
2. Compatible한 collections of ${\zeta }_{{\ell }^n}$을 달리 선택해도 ${\chi }_{\ell }$이 변하지 않음을 증명하라. 또한 complex conjugation $c\in G_{\mathbb{Q}}$에 대한 ${\chi }_{\ell }(c)$를 구하라.
3. Prime $p\ne \ell$과 prime above $p$ $\mathfrak{p}$를 하나 고르고, 대응하는 decomposition group과 inertia group을 $D_p$, $I_p$라 쓰자. ${\chi }_{\ell }(I_p)=\{1\}$임을 증명하라. 즉 ${\chi }_{\ell }$이 $p$에서 unramified임을 보여라.
4. ${\mathrm{Frob}}_p\in D_p/I_p$를 arithmetic Frobenius라 하자. 3번에 의해 정의되는 값이 ${\chi }_{\ell }({\mathrm{Frob}}_p)=p$임을 증명하라. Geometric Frobenius를 사용하면 우변이 어떻게 바뀌는지도 설명하라.

힌트

각 finite layer의 cyclotomic field에서 먼저 생각하라. $p\ne \ell$에서는 $\ell$-powerth primitive root of unity를 residue field로 환원하는 것이 잘 작동한다는 사실을 이용하라.

참고 자료

• J. S. Milne, Fields and Galois Theory: 유한체와 무한 Galois 이론.
• Gabor Wiese, Galois Representations: 연속 Galois 표현의 기초 및 §1.3의 cyclotomic character.